Introducción a la geometría diferencial - Cisneros, Yetzibel
La Geometría Diferencial surge de la aplicación del cálculo diferencial e integral y la geometría analítica, con el fin de proveer métodos para estudiar las propiedades de las curvas y superficies en el espacio. La Geometría Diferencial (Luigi Bianchi, (1856-1928) en 1894) es la herramienta que se usa para entender cómo adaptar conceptos tales como distancia entre dos puntos, el ángulo entre dos curvas que se cortan o la curvatura de una curva plana a la superficie. Por ejemplo, si usted vive en una esfera, no puede ir de un punto a otro a través de una línea recta que se mantenga en la esfera. Por lo tanto, ¿cómo se encuentra la distancia más corta de un punto a otro? Otro ejemplo es ¿cómo caracterizar la diferencia entre un cilindro, el cual puede construirse doblando un plano sin arrugarlo, y una esfera? Con estas interrogantes nace nuestra inquietud de sumergirnos en este maravilloso mundo de la Matemática, y con el fin de estudiar los aspectos más relevantes y fundamentales de la Geometría Diferencial las cuales plasmaremos en este documento titulado "Introducción a la Geometría Diferencial". El mismo consta de tres capítulos estructurados de la siguiente manera: En el primer capítulo se definen conceptos básicos como lo son curva, proyecciones ortogonales, longitud de arco. Consecutivamente se demuestran algunos teoremas importantes para la realización de estudios posteriores. El segundo capítulo está dedicado al estudio de dos cantidades escalares llamadas Curvatura y Torsión, las cuales son fundamentales para la caracterización de las curvas. También se establecen algunos resultados importantes y se define el triedro móvil. En el tercer capítulo se presentan las fórmulas de Frenet y se prueba que una curva queda unívocamente determinada por su curvatura y su torsión, excepto en cuanto a su posición en el espacio. Esperamos que la elaboración de este trabajo sirva como base, principalmente para los docentes y estudiantes de la carrera de Licenciatura en Matemática de la Universidad de Panamá, para el estudio del curso Geometría Diferencial.