| Sumario: | Los grafos son objetos combinatorios que se sientan en el corazón de la intuición matemática. Aparecen en numerosas situaciones de esta rama y a menudo han constituido una fuente de inspiración para investigadores. Una instancia notable de esto puede ser encontrada dentro de las clases C*-Álgebras de grafos y las Álgebras de Caminos de Leavitt. Éstas son unas clases de álgebras sobre cuerpos que emanan de diferentes fuentes en la historia, y aún, posiblemente tienen un futuro en común. En los primeros cursos de estructuras algebráicas uno estudia anillos como Z, los cuerpos, anillos de polinomios o matrices sobre un cuerpo, más generalmente, anillos conmutativos o noetherianos. Todos estos ejemplos satisfacen la propiedad de tener un "número de base invariante" (IBN). Esto significa que si RRn=R Rm con m, n ε N entonces n = m. En 1962, Leavitt introduce una clase k —álgebras, hoy en dia denotadas por L(n, m) = Lk(n, m), que cumplen L(n, m)' L(n,m)m como módulos libres, y son universales con esta propiedad. Más de una década despues, con otra motivación y en forma independiente del trabajo de Leavitt; Cuntz, construye e investiga las C*-álgebras On, llamadas álgebras de Cuntz. Pero On es la completación, en una norma adecuada, de la C álgebra Lc(1,n). Poco más tarde de la aparición de las álgebras de Cuntz, Cuntz y Krieger generalizaban esta noción a las C*(E) de un grafo finito E, que hoy en dia justamente se conocen como Álgebras de Cuntz-Krieger. Luego se amplía esta noción a las álgebras de grafos C*(E) para cualquier grafo dirigido E en [12]. Las C*-álgebras de grafo han sido objetos de estudios de muchos investigadores en los años recientes, tanto desde el punto de vista analítico, como álgebraico. En [23] Abrams y Arando Pino introducen el Álgebra de Caminos de Leavitt L(E) = LK(E). Completando LC(E), en una norma adecuada, se obtiene el álgebra C*(E). La finalidad de esta investigación es "completar la descripción algebráica". Específicamente, la definición de L(E) correspondiente a cualquier grafo E de filas finitas y K un cuerpo. En todo el contenido, K denotará un cuerpo. En el capítulo 1, se enfoca una visión general histórica del tema procediendo con definiciones formales y los primeros resultados estructurales: la caracterización, simplicidad y puramente infinita, entre otros. En el capítulo 2, se mencionan algunos conceptos previos para dar una definición formal al Álgebra de Caminos de Leavitt. Tambien veremos propiedades básicas, ciclos, simplicidad de L(E) y condiciones L y K. Finalmente, el "fuerte" de esta investigación, se concentra en el capítulo 3, el cual se llama ideales graduados en L(E). Aquí, se inicia también con algunos términos previos, definición de conjuntos hereditarios y saturados, lemas, proposiciones y el teorema fundamental de la simplicidad de L(E). Además, se estudia los ideales generados por: un punto línea, vértices en ciclos sin salidas y por un ciclo extremo
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