| Sumario: | Quizá no se vea la utilidad de los polinomios en la vida diaria como se ve la de la suma o la multiplicación; sin embargo, su estudio ha permitido (y sigue permitiendo) el desarrollo de la matemática y con ello el desarrollo de la tecnología de la industria y de todo lo que conocemos a nuestro alrededor. Además, el cálculo de las raíces de un polinomio o solución de ecuaciones ha sido un factor generador importante en el desarrollo de muchas áreas de las matemáticas. Basta para ello mencionar que era la forma de entender el álgebra en sus inicios. Incluso, constituye una propiedad fundamental del objeto función y consecuentemente trascendental para el estudio del cálculo diferencial e integral. He aquí la primera importancia de nuestro estudio, el tener un documento que nos brinde información como propiedades, criterios y observaciones que nos permitan resolver ecuaciones. Con esto en mente hemos elaborado este trabajo de graduación titulado “Irreducibilidad en el anillo de los polinomios F[x] sobre un cuerpo F”, el cual está enfocado en el estudio de los criterios de irreducibilidad de los polinomios, los cuales nos permitirán determinar el menor subcuerpo de C que contenga las raíces del polinomio dado. Este trabajo consta de tres capítulos estructurados de la siguiente manera: En el primer capítulo se definen conceptos básicos de la teoría del anillo de los polinomios. Por ende, se estudiarán las generalidades de los polinomios, y de los anillos. Consecutivamente se demuestran algunos teoremas importantes para la realización de estudios posteriores. El segundo capítulo, está dedicado a estudiar algunos criterios de irreducibilidad para polinomios, además, se presentan teoremas fundamentales que permiten la demostración de los criterios de irreducibilidad; así como también se presenta la forma en la que se pueden encontrar raíces de polinomios en casos particulares. En el tercer capítulo se presentan los polinomios irreducibles en Z[x] para p = 2, 5, y 7 que nos ayudarán a probar la irreducibilidad de polinomios en Z[x] y Q[x]; además, se presentan algunos ejemplos de polinomios irreducibles sobre Z[x], [x] y IR[x] que son resueltos haciendo uso de los criterios de irreducibilidad estudiados en el segundo capítulo. También se presenta un teorema muy importante que ayuda a probar la irreducibilidad de los polinomios en Q [x]. Esperamos que este documento sirva de apoyo a los docentes y estudiantes de Licenciatura en Matemática de la Universidad de Panamá, para el curso de Álgebra III.
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