| Sumario: | Encontrar las raíces de una ecuación polinomial de una o varias incógnitas, es uno de los problemas fundamentales en Matemática. Los coeficientes de un polinomio f(x) están contenido en algún cuerpo K, partiendo de este hecho, este trabajo tiene como objeto de estudio las raíces de los polinomios, encontrando relaciones y propiedades que permitirán construir extensiones de cuerpos a partir de su cuerpo base, por lo que, se dedica gran parte de este trabajo al estudio de los cuerpos y de sus extensiones, tanto finitas como infinitas, sus propiedades, relaciones, comportamientos, hasta llegar a las extensiones de Galois, así como, algunas aplicaciones importantes sobre esta teoría. Está estructurado en cuatro capítulos, el primero inicia con algunas propiedades de espacios vectoriales, para separar los cuerpos en extensiones finitas o infinitas; clasificar los elementos de un cuerpo en algebraicos o transcendentes dando lugar a las extensiones algebraicas y extensiones transcendentes, finalizando con algunas propiedades de las extensiones algebraicas que originan la clausura algebraica de cualquier cuerpo, lo cual permite comprender y demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra. El segundo capítulo, trata sobre el cuerpo de descomposición de un polinomio, a partir de sus raíces; las extensiones normales hasta llegar a los conceptos de clausura normal de un cuerpo, polinomio separable, elemento separable, las extensiones separables, para finalizar con la introducción del concepto de cuerpo perfecto. El tercer capítulo, tiene como punto de partida los homomorfismos de cuerpos para luego encontrar los automorfismo de las extensiones de cuerpo, que es el principal objetivo, esto permite caracterizar las extensiones de Galois, encontrar los grupos de Galois y demostrar el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois, finalizando con las extensiones finitas de Galois, extensiones ciclotómicas, elementos primitivos hasta la demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, desde la perspectiva de las extensiones de Galois. En el cuarto capítulo, se describen algunas aplicaciones relevantes, como lo son las construcciones con regla y compás; los tres problemas fundamentales planteados por los geómetras griegos: la duplicación de un cubo, la trisección de un ángulo y la cuadratura de un círculo; también se estudian las condiciones necesarias que garantizan la construcción de polígonos regulares mediante el uso de la regla y el compás; los grupos de Galois, su relación e isomorfia con el grupo de las permutaciones y el estudio explícito de estos grupos, finalizando el capítulo con las extensiones solubles y extensiones solubles por radicales. Palabras claves: Polinomio, extensiones de cuerpo, cuerpo de descomposición, teoría de Galois.
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