| Sumario: | El propósito principal de esta monografía es analizar las soluciones de la ecuación diferencial x ̇ = A(t)x, que es la expresión matricial de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, que puede tener coeficientes constantes o no, pero es serán periódicos. Se aborda el análisis de tales sistemas utilizando varias herramientas y teorías matemáticas, entre las cuales se puede mencionar las estrategias para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, conceptos de algebra lineal, la teoría de Floquet y los polinomios de Hurtwitz. El estudio se divide en tres secciones a saber: conceptos previos, sistemas lineales periódicos con coeficientes constantes y sistemas lineales periódicos con coeficientes no constantes. La primera sección contiene conceptos fundamentales de las matrices y la matriz exponencial. Dos resultados importantes son el teorema sobre la forma canónica de Jordan y el teorema que señala que para una matriz singular B existe una matriz A tal que e^A =B, éstos dos resultados se encuentran en Cavani (2004). En la segunda sección, se hace un análisis de la estabilidad de los sistemas lineales constantes desde la perspectiva de la teoría cualitativa. Inicia con algunos tópicos de los sistemas lineales en R^n para luego enfocar el trabajo en R^2. Además, se muestra la representación gráfica de las trayectorias de las soluciones es decir el diagrama de fase, que permite visualizar el comportamiento de las soluciones. La estabilidad de un sistema esta determinado por los valores propios de la matriz asociada al sistema, si todos los valores propios de la matriz A tienen su parte real negativa entonces todas las soluciones del sistema convergen al origen cuando t→∞, a esto se le llama estabilidad asintótica de la solución trivial del sistema, o sea el punto (0,0). A este respecto, Ricardo (2008) hace un clasificación de la estabilidad según los valores propios. Por otra parte, la principal característica de los sistemas lineales homogéneos en el principio de superposición como lo señala Hale (1980) que afirma que toda combinación lineal de soluciones es también una solución del sistema. Se presentan ejemplos que respaldan la teoría planteada. En ellos se puede constatar que el análisis cualitativo del sistema es acorde al diagrama de fase. Una herramienta útil para determinar si los valores característicos de la matriz asociada a un sistema lineal son negativos es el criterio de Herwitz, según Aguirre et al. (2016), este criterio presenta una solución analítica para determinar si las raíces de un polinomio se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo, sin tener que calcularlas directamente. Este criterio es utilizado en el estudio de los sistemas dinámicos. Bertossi et al. (2019), respecto a la estabilidad, señala que cuando la diferencia entre dos soluciones con valores iniciales cercanos sea cualitativamente grande, se dice que el sistema no es estable y en ingeniería tal situación es una situación no favorable. Por último, se presenta dos aplicaciones que exhiben la utilidad de gatos sistemas uno sobre circuito y el otro es un problema de un péndulo. La tercera sección se enfoca en el análisis de los sistemas lineales con coeficientes no constantes, es decir sus coeficientes son funciones periódicas que dependen del tiempo. En estos sistemas no se pueden utilizar las mismas estrategias empleadas en los sistemas con coeficientes constantes, pues Hale (1980) exhibe un ejemplo que muestra la imposibilidad de determinar la estabilidad del sistema a partir de la matriz asociada al sistema. Por ello, se desarrolla la teoría de Floquet cuyo principal resultado es que cualquier matriz fundamental de un sistema lineal, con coeficientes T - periódicos, tendrá una factorización Floquet (generalmente compleja) donde uno de los dos factores es T - periódico y el otro es constante. Se introducen algunos conceptos fundamentales en esta teoría, entre ellos matriz monodromía, multiplicadores y exponentes característicos o de Floquet. De forma análoga a los sistemas lineales, a través de estos valores se analiza la estabilidad de los sistemas, es decir, según los valores propios de la matriz monodromía (multiplicadores) y de los valores propios de la matriz constante asociada a la matriz monodromía (exponentes). Por ello, se presenta un teorema que proporciona dos fórmulas para el cálculo de estos valores y para su demostración se utiliza la fórmula de Liouville que se encuentra en Chicone (1999). Al final se desarrollan tres ejemplos donde se aplican los teoremas y conceptos de la teoría de Floquet, en ellos se utilizan herramientas de las ecuaciones diferenciales para determinar las soluciones y, de allí, se busca una matriz fundamental de soluciones que a través de ella se hace la descomposición de Floquet. Cabe resaltar que este proceso es relativamente fácil, siempre que la matriz asociada al sistema sea una matriz triangular superior. Sin embargo, cuando se trabaja con una matriz cuyos elementos sean todos funciones periódicas dependientes del tiempo, es una tarea difícil de calcular.
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