| Sumario: | En este trabajo presentamos una introducción a la teoría de algunos de los conceptos más relevantes y demostraciones sobre las funciones convexas. Mencionaremos las propiedades más importantes y necesarias para la demostración de desigualdades importantes. Haremos una introducción a la noción de mayorización y el subdiferencial, la cual se nos hará útil al momento de plantear y demostrar alguno de los teoremas. A continuación, analizamos detalladamente los contenidos del trabajo capítulo por capítulo. En el primer capítulo se presenta una descripción histórica y conceptos más importantes requeridos para la comprensión de la investigación, como son: definiciones y teoremas generales. El segundo capítulo, como su propio título muestra, trata sobre la noción de conjuntos y funciones convexos. Además, mencionaremos algunas de las propiedades de las funciones convexas, donde serán especialmente importantes para las desigualdades que mencionaremos y demostraremos, sin dejar de lado una breve introducción de los subdiferenciales, y subgradientes, significativo en la optimización convexa. El tercer capítulo está dedicado a estudiar detalladamente la desigualdad de Jensen, la desigualdad de Karamata y la desigualdad de Popoviciu. Derivaremos otras desigualdades directamente con las desigualdades mencionadas, cerrando el capítulo con la aplicación de estas desigualdades en la resolución de probelmas y el aporte de los conjuntos y funciones convexas en resolución en problemas de optimización. Para finalizar, se presentan las conclusiones y bibliografía que fue consultada durante la investigación.
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